Question

已知點P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)右支上一點，F₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點．I為△PF₁F₂內心，若S△IPF1=S△IPF2+

1

2

S△IF1F2，則雙曲線的離心率為______．

Answer 1

如圖，設圓I與△PF₁F₂的三邊F₁F₂、PF₁、PF₂分別相切于點E、F、G，連接IE、IF、IG，
則IE⊥F₁F₂，IF⊥PF₁，IG⊥PF₂，它們分別是
△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂的高，
∴S△IPF1=

1

2

×|PF₁|×|IF|=

r

2

|PF₁|，
S△IPF2=

1

2

×|PF₂|×|IG|=

r

2

|PF₂|
S△IF1F2=

1

2

×|F₁F₂|×|IE|=

r

2

|F₁F₂|，其中r是△PF₁F₂的內切圓的半徑．
∵S△IPF1=S△IPF2+

1

2

S△IF1F2
∴

r

2

|PF₁|=

r

2

|PF₂|+

r

4

|F₁F₂|
兩邊約去

r

2

得：|PF₁|=|PF₂|+

1

2

|F₁F₂|
∴|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|
根據雙曲線定義，得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴2a=c⇒離心率為e=

c

a

=2
故答案為：2．