Question

已如點M（1，0）及雙曲線

x2

3

-y2=1的右支上兩動點A，B，當∠AMB最大時，它的余弦值為（　　）

A．- 1 2

B． 1 2

C．- 1 3

D． 1 3

Answer 1

根據題意，當直線MA與雙曲線相切于點A，直線MB與雙曲線相切于點B時，
∠AMB取得最大值．
設直線AM方程為y=k（x-1），與雙曲線消去y，得
（

1

3

-k²）x²+2k²x-k²-1=0
∵直線MA與雙曲線相切于點A，
∴（2k²）²-4×（

1

3

-k²）×（-k²-1）=0，解之得k=

2

2

（舍負）
因此，直線AM方程為y=

2

2

（x-1），
同理直線BM方程為y=-

2

2

（x-1），
設直線AM傾斜角為θ，得tanθ=

2

2

，且∠AMB=2θ
∴cos2θ=

1-tan2θ

1+tan2θ

=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，即為∠AMB最大時的余弦值
故選：D