Question

【題目】已知拋物線G：x2=2py（p＞0），直線y=k（x﹣1）+2與拋物線G相交A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1＜x2），過A，B點分別作拋物線G的切線L1 ， L2 ， 兩切線L1 ， L2相交H（x，y），
（1）若k=1，有 L1⊥L2 ， 求拋物線G的方程；
（2）若p=2，△ABH的面積為S1 ， 直線AB與拋物線G圍成封閉圖形的面積為S2 ， 證明： 為定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：x2=2py（p＞0），即y= ，

導數為y′= ，切線L1，L2的斜率分別為 ， ，

L1⊥L2，可得 =﹣1，

聯立直線y=x+1和x2=2py（p＞0），

可得x2﹣2px﹣2p=0，即有x1x2=﹣2p，

即有﹣p2=﹣2p，解得p=2，

則拋物線G的方程為x2=4y；

（2）

解：證明：將直線y=k（x﹣1）+2代入拋物線方程x2=4y，

可得x2﹣4kx+4k﹣8=0，

即有x1+x2=4k，x1x2=4k﹣8，

x1＜x2，可得x2﹣x1= = =4 ．

拋物線的方程為y= x2，求導得y′= x，

過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是y﹣y1= x1（x﹣x1），y﹣y2= x2（x﹣x2），

即y= x1x﹣ x12，y= x2x﹣ x22，

解得兩條切線l1、l2的交點H的坐標為（ ， ），即H（2k，k﹣2）．

可得H到直線y=k（x﹣1）+2的距離為d= = ，

|AB|= |x2﹣x1|=4 ．

可得△ABH的面積為S1= d|AB|= 4

=4（k2﹣k+2） ．

直線AB與拋物線G圍成封閉圖形的面積為S2= [k（x﹣1）+2﹣ x2]dx

=[ kx2+（2﹣k）x﹣ x3]| = k（x2﹣x1）（x2+x1）+（2﹣k）（x2﹣x1）﹣ （x2﹣x1）[（x2+x1）2﹣x1x2]

=（x2﹣x1）[2k2+2﹣k﹣ （16k2﹣4k+8）]=4 （k2﹣k+2）= （k2﹣k+2） ．

則 為定值

【解析】（1）求出函數y= 的導數，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，再將直線y=x+1代入拋物線方程，運用韋達定理，解方程可得p的值，進而得到拋物線的方程；（2）將直線y=k（x﹣1）+2代入拋物線方程x2=4y，運用韋達定理和弦長公式，求得|AB|，再由切線的方程求出交點H的坐標，運用點到直線的距離公式，結合三角形的面積公式可得S1， 再由直線AB與拋物線G圍成封閉圖形的面積為S2= [k（x﹣1）+2﹣ x2]dx，化簡計算即可得到面積的比值為定值．