Question

【題目】已知圓心在軸上的圓與直線切于點(diǎn).

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且斜率為正數(shù)的直線與圓交于兩點(diǎn).

（ⅰ）求證： 為定值；

（ⅱ）求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析， .

【解析】試題分析：（1）由題意設(shè)，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為，解得，再由兩點(diǎn)的距離公式可得半徑，進(jìn)而得到所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（i）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立圓的方程，可得的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，即可證得為定值；(ii)由兩點(diǎn)的距離公式，以及韋達(dá)定理和基本不等式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求最大值.

試題解析：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則，又，

由題意可知， ，則，

故，所以，即半徑. 故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，

由 得： ，

所以， .

（ⅰ）為定值，

（ⅱ）

（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）故的最大值為.