Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點、在軸上，離心率為，在橢圓上有一動點與、的距離之和為4，

(Ⅰ) 求橢圓E的方程；

(Ⅱ) 過、作一個平行四邊形，使頂點、、、都在橢圓上，如圖所示.判斷四邊形能否為菱形，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 不能是菱形

【解析】試題分析：（1）由橢圓離心率為，在橢圓E上有一動點A與F1、F2的距離之和為4，列出方程組，求出a=2，b=，由此能求出橢圓E的方程．（2）由F1（﹣1，0），令直線AB的方程為x=my﹣1，聯立方程組，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由此利用韋達定理、直線垂直的性質，結合已知條件能求出四邊形ABCD不能是菱形．

解析：

（Ⅰ）由條件得所以

∴橢圓E的方程是

（Ⅱ）因為，如圖，直線不能平行于軸，所以令直線的方程

為， ，

聯立方程， ，

得，

∴， .

若是菱形，則，

即，

于是有，

又 ，

所以有，

得到 ，

顯然這個方程沒有實數解，故不能是菱形.