Question

如圖，和所在平面互相垂直，且，，E、F、G分別為AC、DC、AD的中點.
（1）求證：平面BCG；
（2）求三棱錐D-BCG的體積.
附：椎體的體積公式，其中S為底面面積，h為高.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）由已知得，是的中位線，故，則可轉化為證明平面BCG．易證，則有，則在等腰三角形和等腰三角形中，且是中點，故，．從而平面BCG，進而平面BCG；（2）求四面體體積，為了便于計算底面積和高，往往可采取等體積轉化法．由平面平面，利用面面垂直的性質，易作出面的垂線，同時求出點到面的距離，從而可求出點到平面距離，即四面體的高，進而求四面體體積．
（1）證明：由已知得．因此．又為中點，所以；同理；因此平面．又．所以平面BCG．
（2）在平面內．作．交延長線于．由平面平面．知平面．
又為中點，因此到平面距離是長度的一半．在中，．
所以．