Question

【題目】如圖，在直角梯形中，，，平面平面，，，分別在線段和上，且，是等腰直角三角形．

（1）若，求證：平面．

（2），是否存在，使得與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，

【解析】

（1）根據題意分析可得是等腰三角形，可得，進而可得，進而可得，即可得到結論；

（2）根據題意，建立空間直角坐標系，得，，，進而可得平面的一個法向量，再利用，得方程解得即可得到結論.

（1）連接，，．

又是等腰三角形，．

在直角梯形中，，故為直角三角形，

在中，，

，，在中，．

在中，，故，平面，

平面，平面．

（2）如圖，過作且，連接得四邊形為矩形．以為原點，，的方向為軸，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，．

設的中點為，連接，

，，平面平面，平面，平面平面，

平面．

是等腰直角三角形，，，

，，，．

設平面的一個法向量為，

則

令，得．

設與平面所成的角為，

則，

化簡得，解得或（舍去），

存在實數，使得與平面所成的角的正弦值為，此時．