Question

【題目】已知O是坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為F，過F且斜率為1的直線交拋物線C于A，B兩點，Q為拋物線C的準(zhǔn)線上一點，且.

（1）求Q點的坐標(biāo)；

（2）設(shè)與直線垂直的直線與拋物線C交于M，N兩點，過M，N分別作拋物線C的切線，設(shè)直線與交于點P，若，求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè).根據(jù).，即.聯(lián)立直線和拋物線方程用韋達定理設(shè)而不求根據(jù)代入點的坐標(biāo)即可求得Q點的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線與拋物線聯(lián)立，根據(jù)，即求出M,N兩點橫坐標(biāo)之和和之積。MN為外接圓的直徑，求出MN的中點坐標(biāo)和MN的長的一半即為半徑，從而求得外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（1）由已知得直線的方程為：，設(shè).

由得，.∴.

由得.

∴，解得.∴Q點的坐標(biāo)為.

（2）設(shè)，，直線，

由已知得，，

解得.由題意得，即.

∴，.

∵，∴，解得.∴，

∴，∴.∴MN為外接圓的直徑.

又∵，

，

∴外接圓的圓心為，半徑為.

∴外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.