Question

【題目】2019年7月1日到3日，世界新能源汽車大會在海南博鰲召開，大會著眼于全球汽車產業的轉型升級和生態環境的持續改善．某汽車公司順應時代潮流，最新研發了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程）的測試．現對測試數據進行分析，得到如圖的頻率分布直方圖．

（1）估計這100輛汽車的單次最大續航里程的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；

（2）根據大量的汽車測試數據，可以認為這款汽車的單次最大續航量程X近似地服從正態分布，經計算第（1）問中樣本標準差s的近似值為50．用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差s作為的估計值，現任取一輛汽車，求它的單次最大續航里程恰在250千米到400千米之間的概率；

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據拋擲硬幣的結果，操控微型遙控車在方格圖上行進，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優惠券．已知硬幣出現正，反面的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格……第50格．遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次，若擲出正面，遙控車向前移動一格（從k到），若擲出反面，遙控車向前移動兩格（從k到），直到遙控車移到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時，游戲結束．設遙控車移到第n格的概率為，試證明是等比數列，并解釋此方案能否成功吸引顧客購買該款新能源汽車．

參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，．

Answer 1

【答案】（1）300；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）利用頻率分布直方圖的平均數的計算方法即可得出．

（2）由．利用正態分布的對稱性可得．

（3）遙控車移到第格的情況是下面兩種，而且只有兩種：①遙控車先到第格，又擲出反面，其概率為．②遙控車先到第格，又擲出正面，其概率為．可得：，即可得證數列是等比數列，并計算獲勝與失敗的概率.

（1）

（千米）．

（2）由．

∴．

（3）遙控車開始在第0格為必然事件，．

第一次擲硬幣出現正面，遙控車移到第一格，其概率為，即．

遙控車移到第格的情況是下面兩種，而且只有兩種：

①遙控車先到第格，又擲出反面，其概率為．

②遙控車先到第格，又擲出正面，其概率為．

∴．

∴．

∴時，數列是等比數列，

首項為，公比為的等比數列．

∴，，

，……，．

∴

．．

∴獲勝的概率，

失敗的概率．

∴．

∴獲勝的概率大．

∴此方案能成功吸引顧客購買該款新能源汽車．