Question

【題目】已知函數， ．

（1）當時，求函數的最小值；

（2）當時，討論函數的單調性；

（3）是否存在實數，對任意的， ，且，有恒成立，若存在求出的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）存在實數.

【解析】試題分析：（1）可得在上遞減，在上遞增，因此在時取得最小值；（2）討論三種情況: ， ， ,分別由得增區間， 得減區間；（3）恒成立等價于恒成立，構造函數，即是函數在為增函數，只需恒成立，可得，即， .

試題解析：（1）顯然函數的定義域為，

當時， ．

∴當時， ， 時， ．

∴在時取得最小值，其最小值為．

（2）∵，

∴①當時，若時， ， 為增函數；

時， ， 為減函數； 時， ， 為增函數．

②當時， ， 為增函數；

③當時， 時， ， 為增函數；

時， ， 為減函數；

時， ， 為增函數．

（3）假設存在實數使得對任意的， ，且，有，

即．

令，只要在為增函數，又函數．

考查函數．

要使在恒成立，只要，即，

故存在實數時，對任意的， ，且，有恒成立．