Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右焦點為F1、F2 ， 離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關于直線l的對稱點，設 =λ ．
（1）證明：λ=1﹣e2；
（2）若λ= ，△MF1F2的周長為6；寫出橢圓C的方程；
（3）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為A、B分別是直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點，

所以A、B的坐標分別是（﹣ ，0），（0，a）．

由 得 這里c= ．

所以點M的坐標是（﹣c， ）．

由 =λ 得（﹣c+ ， ）=λ（ ，a）．

即 ，解得λ=1﹣e2

（2）解：當λ= 時，e= ，所以a=2c．

由△PF1F2的周長為6，得2a+2c=6．

所以a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．

橢圓方程為 ．

（3）解：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，

即 |PF1|=c．

設點F1到l的距離為d，由 |PF1|=d= = =c．

得 =e．

所以e2= ，于是λ=1﹣e2= ．

即當λ= 時，△PF1F2為等腰三角形

【解析】（1）先根據A、B分別是直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點表示出A、B的坐標，然后聯立直線方程與橢圓方程可得到交點M的坐標，再根據 =λ 得（﹣c+ ， ）=λ（ ，a）根據對應坐標相等可得到 ，從而得到λ=1﹣e2 ， 等證．（2）當λ= 時可得到e的值，進而得到a，c的關系，再由△PF1F2的周長為6可得到2a+2c=6，進而可求出a，c的值，從而可得到b的值，確定橢圓方程．（3）根據PF1⊥l，可得到∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，進而要使得△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 |PF1|=c成立，然后設點F1到l的距離為d，根據 |PF1|=d= =c可得到 =e，進而可得到e的值，求出λ的值．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．