Question

【題目】已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸，且拋物線上點P（2，m）到焦點的距離為3，斜率為2的直線L與拋物線相交于A，B兩點且|AB|=3 ，求拋物線和直線L的方程．

Answer 1

【答案】解：∵拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，
拋物線C上的點M（2，m）到焦點F的距離為3，
∴設拋物線的方程為y2=2px（p＞0），
M到準線的距離為3，即 +2=3，解得p=2，
∴拋物線C的方程為y2=4x．
設直線l的方程為y=2x+b，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由直線與拋物線聯立，可得4x2+（4b﹣4）x+b2=0，
∴x1+x2=1﹣b，x1x2= ，
∴|AB|= =3 ，
∴b=﹣2，
∴直線L的方程是y=2x﹣2
【解析】由已知條件設拋物線的方程為y2=2px（p＞0），且 +2=3，由此能求出拋物線C的方程；設直線l的方程為y=2x+b，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由直線與拋物線聯立，可得4x2+（4b﹣4）x+b2=0，由此利用弦長公式能求出直線l的方程．