Question

給定拋物線C：y²=4x，F是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點，記O為坐標原點．
（1）求

OA

•

OB

的值；
（2）設

AF

=λ

FB

，當三角形OAB的面積S∈[2，

5

]時，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線方程可得焦點F的坐標，設出直線的方程與拋物線方程聯立消去x，設A，B的坐標分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）根據韋達定理可求得y₁y₂進而求得x₁x₂的值進而可得答案．
（2）由

AF

=λ

FB

可知所以（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），與拋物線方程聯立整理得x₁=λ²x₂，進而求得y₂和x₂，代入三角形面積公式，進而根據面積的范圍求得λ的范圍．

解答：解：（1）根據拋物線方程y²=4x可得F（1，0）
設直線l的方程為x=my+1，將其與C的方程聯立，消去x得y²-4my-4=0
設A，B的坐標分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）
則y₁y₂=-4
因為

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，所以x1x2=

1

16

y

2 1

y

2 2

=1
故

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-3
（2）解：因為

AF

=λ

FB

，
所以（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂）
即

1-x1=λx2-λ -y1=λy2

又y₁²=4x₁③y₂²=4x₂④
由②、③、④消去y₁，y₂后得，x₁=λ²x₂
將其代入①，1-λ²x₂=λx₂-λ，整理后注意到λ＞0，解得x2=

1

λ

從而可得y2=-

2

λ

，y1=2

λ

故三角形OAB的面積S=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

λ

+

1

λ

因為

λ

+

1

λ

≥2恒成立，所以只要解

λ

+

1

λ

≤

5

即可，
解得

3- 5

2

≤λ≤

3+ 5

2

．

點評：本題主要考查拋物線的應用．題中涉及向量的計算，不等式問題和解三角形等問題，綜合性很強．