Question

給定拋物線C：y²=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)l的斜率為1，求

OA

與

OB

夾角的大小；
（Ⅱ）設(shè)

FB

=λ

AF

，若λ∈[4，9]，求l在y軸上截距的變化范圍．

Answer 1

分析：（I）由拋物線方程可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)直線斜率得到l的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而求得

OA

•

OB

，最后可求得cos＜

OA

，

OB

＞得到夾角的值．
（II）根據(jù)

FB

=λ

AF

得關(guān)于x₂和y₂的方程組，進(jìn)而求得x₂=λ．得到B的坐標(biāo)，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得直線的方程，進(jìn)而求得直線在y軸上的截距，根據(jù)

2 λ

λ-1

=

2

λ +1

+

2

λ-1

，判斷

2 λ

λ-1

在[4，9]上是遞減的，進(jìn)而得到答案．

解答：解：（I）C的焦點(diǎn)為F（1，0），直線l的斜率為1，所以l的方程為y=x-1．
將y=x-1代入方程y²=4x，并整理得x²-6x+1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁+x₂=6，x₁x₂=1，

OA

•

OB

=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=-3.|

OA

|•|

OB

|=

x 2 1 + y 2 1

•

x 2 2 + y 2 2

=

x1x2[x1x2+4(x1+x2)+16]

=

41

cos＜

OA

，

OB

＞=

OA • OB

| OA |•| OB |

=-

3 41

41

.
所以

OA

與

OB

夾角的大小為π-arccos

3 41

41

．
解：（II）由題設(shè)知

FB

=λ

AF

得：（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），即

x2-1=λ(1-x1)(1) y2=-λy1(2)

由（2）得y₂²=λ²y₁²，∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，∴x₂=λ²x₁（3）
聯(lián)立（1）（3）解得x₂=λ．依題意有λ＞0．
∴B（λ，2

λ

）或B（λ，-2

λ

），又F（1，0），
得直線l的方程為（λ-1）y=2

λ

（x-1）或（λ-1）y=-2

λ

（x-1）
當(dāng)λ∈[4，9]時(shí)，l在y軸上的截距為

2 λ

λ-1

或-

2 λ

λ-1

由

2 λ

λ-1

=

2

λ +1

+

2

λ-1

，可知

2 λ

λ-1

在[4，9]上是遞減的，
∴

3

4

≤

2 λ

λ-1

≤

4

3

，-

4

3

≤-

2 λ

λ-1

≤-

3

4

直線l在y軸上截距的變化范圍是[-

4

3

，-

3

4

]∪[

3

4

，

4

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用和拋物線與直線的關(guān)系．考查了學(xué)生對(duì)圓錐曲線知識(shí)的綜合掌握．