Question

給定拋物線c：y²=4x，F是c的焦點，過點F的直線l與c相交于A，B兩點．
（1）設l的斜率為1，求

OA

與

OB

夾角的余弦值；
（2）設

FB

=λ

AF

，若λ∈[4，9]，求l在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據拋物線方程求得焦點的坐標，進而可求得直線l的方程，代入拋物線方程消去x，設出A，B的坐標，根據韋達定理，結合平面向量的數量積運算，可求

OA

與

OB

夾角的余弦值；
（2）得關于x₂和y₂的方程組，進而求得x₂=λ．得到B的坐標，根據焦點坐標可得直線的方程，進而求得直線在y軸上的截距，判斷g（λ）=

2 λ

λ-1

在[4，9]上是遞減的在[4，9]上是遞減的，即可得到答案．

解答：解：（1）C的焦點為F（1，0），直線l的斜率為1，∴l的方程為y=x-1．
將y=x-1代入方程y²=4x，整理得x²-6x+1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=6，x₁x₂=1，y₁+y₂=4，y₁y₂=-4．
∴cos＜

OA

，

OB

＞=

OA • OB

| OA || OB |

=

x1x2+y1y2

x12+y12• x22+y22

=-

3 41

41

．
∴

OA

與

OB

夾角的余弦值為-

3 41

41

．
（2）由題設得（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），
即x₂-1=λ（1-x₁）①，y₂=-λy₁②
由②得y₂²=λ²y₁²，
∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂
，∴x₂=λ²x₁③
聯立①③解得x₂=λ．依題意有λ＞0．
∴B（λ，2

λ

）或B（λ，-2

λ

），
又F（1，0），
得直線l的方程為（λ-1）y=2

λ

（x-1）或（λ-1）y=-2

λ

（x-1）
當λ∈[4，9]時，l在y軸上的截距為

2 λ

λ-1

或-

2 λ

λ-1

，
設g（λ）=

2 λ

λ-1

，λ∈[4，9]，
可知g（λ）=

2 λ

λ-1

在[4，9]上是遞減的，
∴

3

4

≤

2 λ

λ-1

≤

4

3

，或-

4

3

≤-

2 λ

λ-1

≤-

3

4

，
即直線l在y軸上截距的變化范圍為

3

4

≤

2 λ

λ-1

≤

4

3

，或-

4

3

≤-

2 λ

λ-1

≤-

3

4

．

點評：本題主要考查了拋物線的應用和拋物線與直線的關系，考查了學生對圓錐曲線知識的綜合掌握，有難度．