Question

【題目】已知點為拋物線的焦點，過點任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，，，四點，，分別為，的中點．

（1）求證：直線過定點，并求出該定點的坐標；

（2）設直線交拋物線于，兩點，試求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，直線過定點（2）的最小值為.

【解析】

（1）設，，顯然直線，的斜率是存在的，設直線的方程為，代入可得，可得出的中點坐標為，再根據，得的中點坐標為，再令得，

得出直線恒過點，驗證，得，，三點共線，從而直線過的定點；

（2））由（1）設直線的方程為，代入可得，再設，，得韋達定理，，表示出，由二次函數得出線段的最小值．

（1）設，，

直線的方程為，代入可得，

則，故，

故的中點坐標為．

由，得，所以的中點坐標為．

令得，

此時，故直線過點，

當時，，．

所以，，，三點共線，

所以直線過定點．

（2）設，，直線的方程為，

代入可得，則，，

故

（當時，取等號）．

故，當及直線垂直軸時，取得最小值．