Question

【題目】如圖1，已知直線和直線交于軸上一點，且分別交軸于點、點，且.

（1）求的值；

（2）如圖1，點是直線上一點，且在軸上方，當時，在線段上取一點，使得，點分別為軸、軸上的動點，連接，將沿翻折至，求的最小值；

（3）如圖2，分別為射線上的動點，連接是否存在這樣的點，使得為等腰三角形，為直角三角形同時成立.請直接寫出滿足條件的點坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或

【解析】

（1）首先由已知得出點B和C的坐標，即可得出直線AC的解析式，然后得出點A的坐標，代入直線AB，即可得出的值；

（2）首先根據△ACD的面積求出點D坐標，然后由得出點F的坐標和CF，若使有最小值,則M、C′、D在一條直線上，作F和C′關于軸的對稱點F′和C′′，根據D和F′的坐標得出DF′，然后即可得解；

（3）若使得為等腰三角形，為直角三角形同時成立，則分情況求解，H在AC上和AC的延長線上，根據平行線成比例和相似三角形的性質，列出方程，即可得出P坐標.

（1）由已知，得

∵，C在軸正半軸，B在軸負半軸

∴

即

∴直線，直線

∴，將其代入直線AB，

∴

（2）∵點是直線上一點，設點D坐標為

∴

即

∴，即D

∵

∴,即C′在以CF為半徑的圓上，

若使有最小值,則M、C′、D在一條直線上，作F和C′關于軸的對稱點F′和C′′，如圖所示，則，

∴

∴

（3）根據題意，分情況求解：

①

若PH⊥OA，則HP=HC，HP∥CN

∴

設H（x，y）可得

,

∴

②

若PH⊥AC，則HP=HC，

∴△APH∽△ACO

∴

設，可得

∴

∴

∴

③

若PH⊥OA，∠H=∠ACO=60°

∴HP=HC=PC

∴

設H（x，y）可得

∴

故滿足條件的點P坐標為或或.