人教金學典同步解析與測評八年級數(shù)學上冊人教版
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6. 如圖，在等邊三角形ABC中，P是線段AB上的動點（與點A，B不重合），點D在CB的延長線上，且PC = PD.
(1) 如圖（1），若P是AB的中點，求證BD = AP.
(2) 如圖（2），若P不是AB的中點，（1）中的結(jié)論“BD = AP”是否成立？若不成立，請直接寫出BD與AP的數(shù)量關(guān)系；若成立，請證明.
答案：(1) 證明：因為\triangle ABC是等邊三角形，所以\angle ABC=\angle ACB = 60^{\circ}，AB = BC. 因為P是AB中點，所以\angle BCP=\frac{1}{2}\angle ACB = 30^{\circ}，AP = BP. 又因為PC = PD，所以\angle D=\angle BCP = 30^{\circ}. 因為\angle ABC=\angle D+\angle BPD，所以\angle BPD = 30^{\circ}，所以\angle D=\angle BPD，所以BD = BP，所以BD = AP.
(2) 結(jié)論成立. 證明：過點P作PF\parallel BC交AC于點F. 因為PF\parallel BC，所以\angle APF=\angle ABC，\angle AFP=\angle ACB. 因為\triangle ABC是等邊三角形，所以\angle ABC=\angle ACB=\angle A = 60^{\circ}，AB = AC. 所以\angle APF=\angle AFP=\angle A = 60^{\circ}，所以\triangle APF是等邊三角形，所以AP = PF，\angle PFC = 120^{\circ}，\angle DPB=120^{\circ}. 因為\angle D+\angle BPD=\angle FCP+\angle PCF = 60^{\circ}，且\angle BPD=\angle PCF，PC = PD，\angle DPB=\angle PFC，所以\triangle DPB\cong\triangle PCF(AAS)，所以PB = PF，所以AP = BD.
1. 如圖，一條筆直的河l，牧馬人從P地出發(fā)，到河邊M處飲馬，然后到Q地. 在下列四種選擇飲馬處的方案中，牧馬人所走路徑最短的是（ ）
答案：D（根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短可知，作點P關(guān)于直線l的對稱點P'，連接P'Q與直線l的交點即為使路徑最短的飲馬點，符合此條件的是D選項）
2. 如圖，已知點A和點B在直線l同一側(cè). 求作：直線l上一點Q，使QA + QB的值最小.
答案：作點A關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B交直線l于點Q，點Q即為所求（原理是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，QA = QA'，此時QA + QB=A'B，根據(jù)兩點之間線段最短，A'B為最小值）
3. 如圖，在\triangle ABC中，AB = AC，BC = 6，面積是30，AC的垂直平分線EF分別交邊AC，AB于點E，F(xiàn). 若D為邊BC的中點，M為線段EF上一個動點，則\triangle CDM周長的最小值為（ ）
答案：連接AD，因為AB = AC，D是BC中點，所以AD\perp BC，根據(jù)三角形面積公式S=\frac{1}{2}BC\cdot AD，可得\frac{1}{2}\times6\times AD = 30，解得AD = 10. 因為EF是AC的垂直平分線，所以MA = MC，所以\triangle CDM的周長=CD + DM+MC=CD + DM + MA. 當A，M，D三點共線時，DM + MA的值最小，最小值為AD的長. 因為CD=\frac{1}{2}BC = 3，所以\triangle CDM周長的最小值為3 + 10=13.
