人教金學(xué)典同步解析與測(cè)評(píng)八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)人教版
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在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠BAC = 60°，要求用直尺和圓規(guī)作圖，把它分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形是等邊三角形. 下列作法正確的是（ ）.（題目中未給出選項(xiàng)內(nèi)容，此處僅按原文呈現(xiàn)）
答案：
【例3】如圖15.3 - 14，在△ADB中，∠ADB = 60°，DC平分∠ADB，交AB于點(diǎn)C，且DC⊥AB，過(guò)點(diǎn)C作CE∥DA，交DB于點(diǎn)E，連接AE. 求證：（1）△ADB是等邊三角形；（2）AE⊥DB.
答案：（1）證明：因?yàn)镈C平分∠ADB，所以∠ADC = ∠BDC = 30°. 因?yàn)镈C⊥AB，所以∠DCB = ∠DCA = 90°. 所以∠B = ∠DAB = 90° - 30° = 60°. 所以∠ADB = ∠B = ∠DAB = 60°. 所以△ADB是等邊三角形. （2）證明：因?yàn)镃E∥DA，△ADB是等邊三角形，所以∠CEB = ∠ADB = 60°，∠ECB = ∠DAB = 60°. 所以∠CEB = ∠CBE = ∠ECB = 60°. 所以△CEB是等邊三角形. 所以CE = BE = BC. 因?yàn)椤鰽DB是等邊三角形，DC⊥AB，所以BC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$BD = BE. 所以E是BD的中點(diǎn). 所以AE是△ADB的邊BD上的中線(xiàn). 又因?yàn)椤鰽DB是等邊三角形，所以AE⊥DB.
跟蹤練習(xí)3：如圖15.3 - 15，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在BC，CA，AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且CD = AE = BF. 求證：△DEF是等邊三角形.
答案：證明：因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠BAC = ∠ABC = ∠ACB = 60°，AB = BC = CA. 因?yàn)镃D = AE = BF，所以AF = BD = CE. 又因?yàn)椤螰AD = 180° - ∠BAC = 120°，∠DBE = 180° - ∠ABC = 120°，∠ECF = 180° - ∠ACB = 120°，所以在△FAD和△DBE中，$\begin{cases}AF = BD\\∠FAD = ∠DBE\\AD = BE\end{cases}$（AD = BC + CD，BE = AB + AE，因?yàn)锳B = BC，CD = AE，所以AD = BE），所以△FAD≌△DBE（SAS）. 所以DF = DE. 同理可證△DBE≌△ECF，所以DE = EF. 所以DF = DE = EF. 所以△DEF是等邊三角形.
