Question

【題目】如圖，在直四棱柱 中，底面 是邊長為2的正方形， 分別為線段 ， 的中點.

（1）求證： ||平面 ；
（2）四棱柱 的外接球的表面積為 ，求異面直線 與 所成的角的大小.

Answer 1

【答案】
（1）解：連接 ，在 中， 分別為線段 的中點，∴ 為中位線，

∴ ，而 面 ， 面 ，∴ 平面 .

（2）解：由（1）知 ，故 即為異面直線 與 所成的角.

∵四棱柱 的外接球的表面積為 ，

∴四棱柱 的外接球的半徑 ，

設 ，則 ，解得 ，

在直四棱柱 中，∵ 平面 ， 平面 ，

∴ ，在 中， ，

∴ ，

∴異面直線 與 所成的角為 .

【解析】（1）證明線面平行，關鍵是線線平行，而線線平行主要是中位線或平行四邊形相對兩邊，因此連接即可。
（2）根據外接球的表面積可得外接球半徑，根據長方體和外接球半徑的關系可得的大小，再根據異面直線的定義轉化成直線與BC所成角，放在三角形中可得。