Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=2，AA1=3，D為BC中點，

（1）證明：A1C∥平面B1AD；
（2）求二面角B1﹣AD﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設A1B∩B1A=E，連接DE，

則在△A1BC中，E、D分別是A1B、BC的中點，

∴A1C∥DE，又A1C平面B1AD，DE平面B1AD，

∴A1C∥平面B1AD

（2）解：如圖，以A為原點，AB、AC、AA1所在的直線為x、y、z建立坐標系．

則B（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，0，3），

∵D為BC的中點，∴D（1，1，0）

=（1，1，0）， =（2，0，3）

取平面BAD的法向量為 =（0，0，1），設平面B1AD的法向量為 =（x，y，z），

則 ，令x=1，y=﹣1，z=﹣ ，∴ =（1，﹣1，﹣ ），

∴cos＜ ＞= =﹣

∵二面角B1﹣AD﹣B為銳二面角，

∴二面角B1﹣AD﹣B的余弦值為 ．

【解析】（1）設A1B∩B1A=E，連接DE，則A1C∥DE，由此能證明A1C∥平面B1AD．（2）以A為原點，AB、AC、AA1所在的直線為x、y、z建立坐標系．利用向量法能求出二面角B1﹣AD﹣B的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．