Question

【題目】已知直線x+y﹣1=0與橢圓 相交于A，B兩點，線段AB中點M在直線 上．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓右焦點關于直線l的對稱點在單位圓x2+y2=1上，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），

由 得：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0．

△=﹣（2a2）2﹣（a2+b2）（a2﹣a2b2）＞0，即a2+b2＞1．

x1+x2= ，y1+y2=﹣（ x1+x2）+2= ，

∴點M的坐標為（ ， ）．

又點M在直線l上，

∴ ﹣ =0，

∴a2=2b2=2（a2﹣c2），∴a2=2c2，

∴

（2）解：由（1）知b=c，設橢圓的右焦點F（b，0）關于直線 的對稱點為（x0，y0），

由 ，解得

∵x02+y02=1，

∴ ，

∴b2=1，顯然有a2+b2=3＞1．

∴所求的橢圓的方程為

【解析】（1）設出A、B兩點的坐標，聯立直線與橢圓的方程得關于x的一元二次方程；由根與系數的關系，可得x1+x2 ， y1+y2；從而得線段AB的中點坐標，代入直線l的方程，得出a、c的關系，從而求得橢圓的離心率．（2）設橢圓的右焦點坐標為F（b，0），F關于直線l的對稱點為（x0 ， y0），則由互為對稱點的連線被對稱軸垂直平分，可得方程組，解得x0、y0；代入圓的方程 x02+y02=1，得出b的值，從而得橢圓的方程．
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．