Question

（1）小王同學為了測量積雪的密度，設計了“根據雪地上的腳印深度進行估測”的方法．他采用的方法是：利用一塊平整地面上的積雪，用腳豎直向下踩在雪上，形成一個向下凹的腳印．然后通過測量積雪原來的厚度H，用腳踩后在雪上形成腳印的深度h，就可以估測雪的密度．請通過推導得出雪的密度的計算表達式．
（2）大雪過后，會造成路面積雪和積水，危及交通安全．為了盡快消除路面積水，可以通過撒鹽和鋪設防滑物以及組織掃雪等措施．下表反映的是鹽的濃度與凝固溫度之間的關系，利用這一表格，請你估計當橋面上積水的厚度達到2cm，環境溫度為-3°C時，撒鹽車應在每平方米的冰面上撒多少鹽才能去除橋面上的積水？

鹽的濃度（%）	0	5	10	15	20
凝固溫度（°C）	0	-3	-7.5	-12	-17

（3）雪地車在松軟的雪地上行駛時，所受阻力主要源于履帶或車輪與雪層的擠壓．某型號的履帶式雪地車的每根履帶寬為d，空載時與雪地接觸的壓強為p₀．
（a）當雪地車以速度v在雪地上勻速行駛時，在雪層上造成的雪溝深度為h．試估算此時雪地車克服雪層阻力做功的功率P．
（b）假設雪地車擠壓雪層形成的雪溝深度與壓強成正比．當雪地車所載貨物的重力為雪地車空載時自重的1/4，則仍以功率P在雪地上勻速行駛時的速度為多大？

Answer 1

分析：（1）雪被踩前后，質量和腳印的面積是不變的．已知雪的深度和腳印的深度，可以知道踩實后的冰的深度；根據雪的深度、冰的深度和腳印的深度，可以得到雪和冰的體積；雪和冰質量不變，根據m=ρV得到雪和冰密度、體積等量關系式，最后得出雪的密度表達式．
（2）已知冰雪的凝固溫度和對應的鹽水濃度，只要得出此時每平方米水的質量就能得出需要的食鹽的質量．
（3）（a）已知雪地車在雪地上的速度，可以知道在一定時間內行駛的距離；已知履帶的寬度和行駛的距離，可以知道雪地車碾過雪地的面積；已知雪地車對雪地的壓強和碾過雪地的面積，可以得到雪地車對雪地的壓力；已知對雪地的壓力和雪溝深度，可以得到雪地車對雪地所做的功；最后利用P=

W

t

得出克服雪地阻力的功率．
（b）在車輪與雪地接觸面積一定時，雪地車對雪地的壓強與物重成正比，所以壓強增大的程度與車重增加的程度相同；根據前后兩次功率一定列出方程，就能得出此時的速度．

解答：解：
（1）雪被踩后成為冰，密度是0.9g/cm³
設腳印的面積為S，則
雪的體積V_雪=SH，冰的體積V_冰=S（H-h）
根據密度公式ρ=

m

V

得

ρ雪

ρ冰

=

V冰

V雪

=

H-h

H

∴ρ_雪=

ρ冰(H-h)

H

（2）由表格知：-3°C時應撒鹽的濃度為5%，
設每平方米的水的質量為m，則有
m=ρ_水V_水=1000kg/m³×1m²×0.02m=20kg
所以撒鹽的質量為m_鹽=20kg×5%=1kg
（3）
（a）設雪地車在雪地行駛的時間為t
則t時間內前進的距離L=vt
壓下雪的面積S=L2d=2vtd
壓力做功W=Fh=pSh=p₀×2vtd×h=2p₀vtdh
∴功率P=

W

t

=

2P0vtdh

t

=2p₀vdh
（b）已知重力增加

1

4

，所以雪地車對雪地的壓強增大

1

4

，
雪地車克服雪地阻力的功率一定
設此時雪地車行駛的速度為v′
根據題意得 2p₀vdh=2（p₀+

P0

4

）v'

5

4

h
解得v'=

16v

25

．
答：
（1）雪的密度表達式為ρ_雪=

ρ冰(H-h)

H

；
（2）每平方米需撒鹽1kg；
（3）（a）雪地車克服阻力的功率為2dp₀hv；
（b）雪地車仍以功率P在雪地上勻速行駛時的速度為

16v

25

．

點評：此題是力學中的一道綜合題，難度很大．解決的關鍵是在掌握基本物理規律的基礎上找準等量關系，綜合應用比例法、方程法．