Question

【題目】如圖，中，，，，分別以、、為邊作正方形、、，再作，使，點在邊上，點、在邊上，點、在邊上，則的長為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先證明△ABC≌△GFC（SAS），利用全等三角形的性質可得：∠CGF=∠BAC=30°，在直角△ABC中，根據三角函數即可求得AC，進而由等邊三角形的性質和正方形的性質及三角函數就可求得QR的長，在直角△QRP中運用三角函數即可得到RP、進而可求出PQ的長.

延長BA交QR于點M

在△ABC和△GFC中

∴△ABC≌△GFC（SAS）

∴∠CGF=∠CAB=30°

∴∠HGQ=180°-∠HGC-∠CGF =180°-90°-30°=60°

∴∠HAM=180°-∠HAC-∠CAB =180°-90°-30°=60°

∵∠R=∠ADE=90°

∴QR∥AD

∴BM⊥QR

∴四邊形RDAM是矩形

∴∠MHA+∠HAM=∠MHA+∠QHG=90°

∴∠QHG=60°

∴△QHG是等邊三角形

∴

則

在直角△HMA中，

∵四邊形RDAM是矩形

∴MR=AD=AB=4

∴

∴

故填：.