Question

【題目】車輛轉彎時，能否順利通過直角彎道的標準是：車輛是否可以行使到和路的邊界夾角是45°的位置(如圖1中②的位置)，例如，圖2是某巷子的俯視圖，巷子路面寬4m，轉彎處為直角，車輛的車身為矩形ABCD，CD與DE、CE的夾角都是45°時，連接EF，交CD于點G，若GF的長度至少能達到車身寬度，則車輛就能通過．

(1)試說明長8m，寬3m的消防車不能通過該直角轉彎；

(2)為了能使長8m，寬3m的消防車通過該彎道，可以將轉彎處改為圓弧(分別是以O為圓心，以OM和ON為半徑的弧)，具體方案如圖3，其中OM⊥OM′，請你求出ON的最小值．

Answer 1

【答案】(1)消防車不能通過該直角轉彎；(2)ON至少為4.5米．

【解析】

（1）過點F作FH⊥EC于點H，根據道路的寬度求出FH=EH=4m，然后根據等腰直角三角形的性質求出EF、GE的長度，相減即可得到GF的長度，如果不小于車身寬度，則消防車能通過，否則，不能通過；
（2）假設車身C、D分別與點M′、M重合，根據等腰直角三角形的性質求出OG=CD=4，OC=CG=4，然后求出OF的長度，從而求出可以通過的車寬FG的長度，如果不小于車寬，則消防車能夠通過，否則，不能通過；設ON=x，表示出OC=x+4，OG=x+3，又OG=CD=4，在Rt△OCG中，利用勾股定理列式進行計算即可求出ON的最小值．

解：(1)消防車不能通過該直角轉彎．

理由如下：如圖，作FH⊥EC，垂足為H，

∵FH=EH=4，

∴EF=4，且∠GEC=45°，

∵GC=4，

∴GE=GC=4，

∴GF=4﹣4＜3，

即GF的長度未達到車身寬度，

∴消防車不能通過該直角轉彎.

(2)若C、D分別與M′、M重合，則△OGM為等腰直角三角形，

∴OG=4，OM=4，

∴OF=ON=OM﹣MN=4﹣4，

∴FG=OG﹣OF=×8﹣(4﹣4)=8﹣4＜3，

∴C、D在上，

設ON=x，連接OC，在Rt△OCG中，

OG=x+3，OC=x+4，CG=4，

由勾股定理得，OG2+CG2=OC2，

即(x+3)2+42=(x+4)2，

解得x=4.5．

答：ON至少為4.5米．