Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C，且OC＝OA

（1）求拋物線解析式；

（2）過直線AC上方的拋物線上一點M作y軸的平行線，與直線AC交于點N．已知M點的橫坐標為m，試用含m的式子表示MN的長及△ACM的面積S，并求當MN的長最大時S的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）MN＝﹣m2﹣3m；S＝﹣m2﹣m；當m＝﹣時，MN最大，此時S＝.

【解析】

（1）先求出點C坐標，再運用待定系數法求解即可；
（2）先求出直線AC的解析式，用m表示點M，N的坐標，即可表示線段MN的長度；根據S△ACM＝S△AMN+S△CMN即可用m表示S△ACM；運用二次函數分析MN最值即可；

解：（1）由A（﹣3，0），且OC＝OA可得C（0，3）

設拋物線解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），

將C（0，3）代入解析式得，﹣3a＝3，解得a＝﹣1，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）如圖，

設直線AC解析式為y＝kx+d

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴，

解得 ，

∴直線AC解析式為y＝x+3，

設M（m，﹣m2﹣2m+3），則N（m，m+3），則MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m（﹣3＜m＜0），

S△ACM＝S△AMN+S△CMN＝MN×3＝﹣m2﹣m，

MN＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，

∵a＝﹣1＜0，﹣3＜m＝﹣1.5＜0，

∴m＝﹣時，MN最大，此時S＝．