Question

【題目】如圖，已知直線y＝﹣2x+6與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A，B兩點，且點A（1，4）為拋物線的頂點，點B在x軸上

（1）求拋物線的解析式；

（2）在（1）中拋物線的第三象限圖象上是否存在一點P，使△POB≌△POC？若存在，求出點P的坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在. P（）．

【解析】

（1）根據待定系數法求解析式即可

（2）先確定出點C坐標，然后根據△POB≌△POC建立方程，求解即可

解：（1）由y＝﹣2x+6＝0，得x＝3

∴B（3，0）．

∵A（1，4）為頂點，

∴設拋物線的解析為y＝a（x﹣1）2+4，解得a＝﹣1．

∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；

（2）存在．

當x＝0時，y＝﹣x2+2x+3＝3，

∴C（0，3）．

∵OB＝OC＝3，OP＝OP，

∴當∠POB＝∠POC時，△POB≌△POC．

作PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，則∠POM＝∠PON＝45°．

∴PM＝PN．

設P（m，m），則m＝﹣m2+2m+3，解得m＝．

∵點P在第三象限，

∴P（，）．