Question

如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB延長線上的一個動點，過點P作⊙O的切線，切點為C，連接AC，BC，作∠APC的平分線交AC于點D．
下列結論正確的是　  　（寫出所有正確結論的序號）
①△CPD∽△DPA；
②若∠A=30°，則PC=BC；
③若∠CPA=30°，則PB=OB；
④無論點P在AB延長線上的位置如何變化，∠CDP為定值．

Answer 1

②③④．

試題分析：①只有一組對應邊相等，所以錯誤；
②根據切線的性質可得∠PCB=∠A=30°，在直角三角形ABC中∠ABC=60°得出OB=BC，∠BPC=30°，解直角三角形可得PB=OC=BC；所以正確；
③根據切線的性質和三角形的外角的性質即可求得∠A=∠PCB=30°，∠ABC=60°，進而求得PB=BC=OB；所以正確；
④連接OC，根據題意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°，所以正確；．
故答案是②③④．