Question

如圖1，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一個動點，連接OP，CP．
（1）求△OPC的最大面積；
（2）求∠OCP的最大度數；
（3）如圖2，延長PO交⊙O于點D，連接DB，當CP=DB時，求證：CP是⊙O的切線．

Answer 1

試題分析：（1）在△OPC中，底邊OC長度固定，因此要想△OPC的面積最大，則要OC邊上的高最大；由圖形可知，當OP⊥OC時高最大；
（2）要想∠OCP的度數最大，由圖形可知當PC與⊙O相切才能滿足，根據切線的性質即可求得；
（3）連接AP，BP通過△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC，從而求得PC是⊙O的切線
試題解析：（1）∵AB=4，
∴OB=2，OC=OB+BC=4．
在△OPC中，設OC邊上的高為h，
∵S_△OPC=OC•h=2h，
∴當h最大時，S_△OPC取得最大值．
觀察圖形，當OP⊥OC時，h最大，如答圖1所示：

此時h=半徑=2，S_△OPC=2×2=4．
∴△OPC的最大面積為4．
（2）當PC與⊙O相切時，∠OCP最大．如答圖2所示：

∵tan∠OCP=，
∴∠OCP=30°
∴∠OCP的最大度數為30°．
（3）證明：如答圖3，連接AP，BP．

∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD，
∵∠AOP=∠DOB
∴AP=BD，
∵CP=DB，
∴AP=CP，
∴∠A=∠C
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD∠C，
在△ODB與△BPC中
，
∴△ODB≌△BPC（SAS），
∴∠D=∠BPC，
∵PD是直徑，
∴∠DBP=90°，
∴∠D+∠BPD=90°，
∴∠BPC+∠BPD=90°，
∴DP⊥PC，
∵DP經過圓心，
∴PC是⊙O的切線．