Question

如圖，AB是⊙O的直徑，，M是弧AB的中點，OC⊥OD，△COD繞點O旋轉與△AMB的兩邊分別交于E、F（點E、F與點A、B、M均不重合），與⊙O分別交于P、Q兩點．

（1）求證：；
（2）連接PM、QM，試探究：在△COD繞點O旋轉的過程中，∠PMQ是否為定值？若是，求出∠PMQ的大小；若不是，請說明理由；
（3）連接EF，試探究：在△COD繞點O旋轉的過程中，△EFM的周長是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請說明理由

Answer 1

（1）證明見解析；（2）是，135°；（3）存在，9.

試題分析：（1）根據圓周角定理由AB是⊙O的直徑得∠AMB=90°，由M是弧AB的中點得弧MB=弧MA，于是可判斷△AMB為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得∠ABM=∠BAM=∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=AB=6，再利用等角的余角相等得∠BOE=∠MOF，則可根據“SAS”判斷△OBE≌△OMF，所以OE=OF；
（2）根據圓周角定理得到∠BMQ=∠BOQ，∠AMP=∠AOP，則∠BMQ+∠AMP=（∠BOQ+∠AOP）=45°，所以∠PMQ=∠BMQ+∠AMB+∠AMP=135°；
（3）易得△OEF為等腰直角三角形，則EF=OE，再由△OBE≌△OMF得BE=MF，所以△EFM的周長=EF+MF+ME=EF+MB=OE+6，根據垂線段最短得當OE⊥BM時，OE最小，此時OE=BM=3，所以△EFM的周長的最小值為9．
試題解析：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AMB=90°，
∵M是弧AB的中點，
∴，
∴MA=MB，
∴△AMB為等腰直角三角形，
∴∠ABM=∠BAM=45°，∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=AB=×6=6，
∴∠MOE+∠BOE=90°，
∵∠COD=90°，
∴∠MOE+∠MOF=90°，
∴∠BOE=∠MOF，
在△OBE和△OMF中，
，
∴△OBE≌△OMF（SAS），
∴OE=OF；

（2）解：∠PMQ為定值．
∵∠BMQ=∠BOQ，∠AMP=∠AOP，
∴∠BMQ+∠AMP=（∠BOQ+∠AOP），
∵∠COD=90°，
∴∠BOQ+∠AOP=90°，
∴∠BMQ+∠AMP=×90°=45°，
∴∠PMQ=∠BMQ+∠AMB+∠AMP=45°+90°=135°；
（3）解：△EFM的周長有最小值．
∵OE=OF，
∴△OEF為等腰直角三角形，
∴EF=OE，
∵△OBE≌△OMF，
∴BE=MF，
∴△EFM的周長=EF+MF+ME=EF+BE+ME=EF+MB=OE+6，
當OE⊥BM時，OE最小，此時OE=BM=×6=3，
∴△EFM的周長的最小值為3+6=9．
考點: 圓的綜合題.