Question

如圖，正方形ABCD的中心為O，AB=8，點E，F分別是線段AD，CD上的動點（與AD，CD的交點不重合），且AE=a，CF=b．
（1）求正方形ABCD的周長；
（2）若四邊形EOFD的面積為10，求代數式（a-b）²+4（a-1）（b-1）的值．
（3）當OE⊥OF時，求證：EF²=a²+b²．

Answer 1

（1）由題意，得
正方形的周長為：4×8=32．
答：正方形ABCD的周長為：32；

（2）如圖1，過點O分別作OM⊥AD于M，ON⊥CD于點N，連接OD，
∴∠AMO=∠CNO=90°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=8，∠ADC=90°，
∴OM∥CD，ON∥AD．
∵O是AC的中點，
∴AO=CO，
∴AM=DM，CN=DN，
∴OM=ON=4．
∵AE=a，CF=b，
∴DE=8-a，DF=8-b，
∴S四邊形EOFD=

1

2

×4(8-a)+

1

2

×4(8-b)=10，
∴a+b=11
∵（a-b）²+4（a-1）（b-1）=（a+b）²-4（a+b）+4，（7分）
=11²-44+4，
=81；

（3）如圖2，連接OD，EF，
∵AD=CD，∠ADC=90°，O是AC的中點，
∴OD⊥AC，OD=AC．∠ODC=45°．
∵∠EOF=90°
∴∠AOE=∠DOF．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠OAE=45°．
∴∠OAE=∠ODF．
在△AOE和△DOF中，

∠OAE=∠ODF OA=OD ∠OAE=∠ODF

，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴AE=DF=a，
∵DE=8-a，
∴DE=8-DF．
∵CF=8-DF，
∴DE=CF，
∴DE=b，
在Rt△DEF中，由勾股定理，得EF²=a²+b²．