如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點D，連接OD，過點D作⊙O的切線，交AB延長線于點E，交AC于點F．
（1）求證：OD∥AC；
（2）當AB=10，
時，求AF及BE的長．
（1）證明見解析；（2）
.
解析試題分析：（1）若要證明OD∥AC，則可轉化為證明∠C=∠ODB即可.
（2）連接AD，首先利用已知條件可求出BD的長，再證明△ADC∽△AFD，利用相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可求出AF及BE的長．
試題解析：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB.∴∠C=∠ODB.
∴OD∥AC.
（2）如圖，連接AD，
∵AB為直徑，∴AB⊥BD.∴∠ADC=90°.
∵AB=10，，∴BD=AB•cos∠ABC=
.∴AD=
.
∵DF是圓的切線，∴OD⊥DF.∴∠ODF=90°.
∵AC∥OD，∴∠AFD=90°.
∵∠ADC=∠AFD，∠DAF=∠CAD，∴△ADC∽△AFD，
∴
，即
，解得AF=8.
∵OD∥AF，∴
，即
.
∴BE=．
考點：1.切線的性質；2.相似三角形的判定和性質；3.平行線的判定和性質；4.圓周角定理．
名校課堂系列答案科目：初中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在?ABCD中，E，F分別為BC，AB中點，連接FC，AE，且AE與FC交于點G，AE的延長線與DC的延長線交于點N．
（1）求證：△ABE≌△NCE；
（2）若AB=3n，FB=
GE，試用含n的式子表示線段AN的長．
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科目：初中數學 來源： 題型：解答題
如圖甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果點P由點B出發沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由點A出發沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接PQ，設運動時間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：
（1）設△APQ的面積為S，當t為何值時，S取得最大值？S的最大值是多少？
（2）如圖乙，連接PC，將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，當四邊形PQP′C為菱形時，求t的值；′
（3）當t為何值時，△APQ是等腰三角形？
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科目：初中數學 來源： 題型：解答題
如圖，△ABC中，AB=AC，作以AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D，過點D作⊙O的切線，分別交AC、AB的延長線于點E、F．
（1）求證：EF⊥AC；
（2）若BF=2，CE=1.2，求⊙O的半徑．
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科目：初中數學 來源： 題型：解答題
如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”．
（1）請用直尺和圓規畫一個“好玩三角形”；
（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 
，求證：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=2β，點P，Q從點A同時出發，以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點C運動，記點P經過的路程為s．
①當β=45°時，若△APQ是“好玩三角形”，試求
的值；
②當tanβ的取值在什么范圍內，點P，Q在運動過程中，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”．請直接寫出tanβ的取值范圍．
（4）依據（3）的條件，提出一個關于“在點P，Q的運動過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是‘好玩三角形’的個數關系”的真命題（“好玩三角形”的個數限定不能為1）
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科目：初中數學 來源： 題型：解答題
已知矩形OABC的頂點O（0，0）、A（4，0）、B（4，－3）．動點P從O出發，以每秒1個單位的速度，沿射線OB方向運動．設運動時間為t秒．
（1）求P點的坐標（用含t的代數式表示）；
（2）如圖，以P為一頂點的正方形PQMN的邊長為2，且邊PQ⊥y軸．設正方形PQMN與矩形OABC的公共部分面積為S，當正方形PQMN與矩形OABC無公共部分時，運動停止．
①當t＜4時，求S與t之間的函數關系式；
②當t＞4時，設直線MQ、MN分別交矩形OABC的邊BC、AB于D、E，問：是否存在這樣的t，使得△PDE為直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．
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