Question

已知矩形OABC的頂點O（0，0）、A（4，0）、B（4，－3）．動點P從O出發，以每秒1個單位的速度，沿射線OB方向運動．設運動時間為t秒．
（1）求P點的坐標（用含t的代數式表示）；
（2）如圖，以P為一頂點的正方形PQMN的邊長為2，且邊PQ⊥y軸．設正方形PQMN與矩形OABC的公共部分面積為S，當正方形PQMN與矩形OABC無公共部分時，運動停止．
①當t＜4時，求S與t之間的函數關系式；
②當t＞4時，設直線MQ、MN分別交矩形OABC的邊BC、AB于D、E，問：是否存在這樣的t，使得△PDE為直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（，－）；（2）①當0＜t≤時，S=×=t² ；當＜t≤時，S=2×= ；當＜t＜4時，S=4；②t=5或.

解析試題分析：（1）設PN與x軸交于點D，先由矩形的性質得出∠OAB=90°，在Rt△OAB中運用勾股定理求出OB=5，再由PD∥AB，得到△OPD∽△OBA，根據相似三角形對應邊成比例得出OD=，PD=，即可確定P點的坐標；
（2）①分三種情況進行討論：（i）當0＜t≤時，設PQ與y軸交于點E，則S=S矩形ODPE=OD•PD；（ii）當＜t≤時，設PN與x軸交于點D，QM與x軸交于點F，則S=S矩形PQFD=PQ•PD；（iii）當＜t＜4時，S=S正方形PQMN；
②分三種情況進行討論：（i）當4＜t≤5時，根據三角形外角的性質得出∠DPE＞∠DBE=90°，則△PDE不可能為直角三角形；（ii）當t=5時，∠DPE=∠DBE=90°，此時，△PDE為直角三角形；（iii）當t＞5時，由于∠DPE＜∠DBE=90°，則當△PDE為直角三角形時，可能∠PDE=90°或者∠PED=90°．若∠PDE=90°，根據兩角對應相等的兩三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出關于t的方程，解方程即可；若∠PED=90°，則△PNE∽△EMD，根據兩角對應相等的兩三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出關于t的方程，解方程即可．
試題解析：（1）P（，－）
（2）①當0＜t≤時，S=×=t²
當＜t≤時，S=2×= 
當＜t＜4時，S=4
②當QM運動到AB位置時，恰好無公共部分，＜4＋2，即t＜.
（ⅰ）當4＜t＜5時，∠DPE＞∠DBE=90º，△PDE不可能為直角三角形
（ⅱ）當t=5時，∠DPE=∠DBE=90º，此時△PDE是直角三角形
（ⅲ）當5＜t＜時，∠DPE＜90º，還有兩種可能，∠PDE=90º或∠PED=90º.
若∠PDE=90º，則，可得，整理得9t²－160t＋675=0，
解得，應取
若∠PED=90º，則，可得，整理得8t²－115t＋425=0，
注意到△＜0，該方程無實數解(10分)
綜上所述，符合條件的t的值有兩個，t=5或.
考點：相似形綜合題．