Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點，則AM的最小值為( )

A.2
B.2.4
C.2.6
D.3

Answer 1

【答案】B
【解析】先求證四邊形AFPE是矩形，再根據直線外一點到直線上任一點的距離，垂線段最短，利用相似三角形對應邊成比例即可求得AP最短時的長，然后即可求出AM最短時的長．

連結AP，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四邊形AFPE是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中點，
∴AM=AP，
根據直線外一點到直線上任一點的距離，垂線段最短，
即AP⊥BC時，AP最短，同樣AM也最短，
∴當AP⊥BC時，△ABP∽△CBA，
∴ ，
∴ ，
∴AP最短時，AP=4.8
∴當AM最短時，AM==2.4．
故選B．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用垂線段最短和直角三角形斜邊上的中線的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；現實生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質的應用；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．