Question

【題目】如圖，已知ABCD的對角線AC，BD交于點O，DE平分∠ADC交BC于點E，交AC與點F，且∠BCD=60°，BC=2CD，連接OE，則下列結論：①OE∥AB ②SABCD=BD·CD ③AO=2BO ④S△DOF=2S△EOF，其中成立的有（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

①先根據題意說明BE=CE、OA=OC，然后根據三角形中位線定理即可判斷；

②只要說明BD⊥CD即可判定為正確；

③設AB=x，分別表示OA和OB的長，然后進行比較即可判斷；

④利用平行線分線段成比例定理可得DF=2EF，然后根據三角形的面積公式即可判定．

解：①∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD//BC，OA=OC，∠ADC+∠BCD=180°

∵∠BCD=60°，

∴ADC= 120°，

∵DE平分∠ADC，

∴∠CDE=∠BCD=60°

∴△CDE等邊三角形

∴CE=CD

∵BC=2CD

∴BE=CE

∵OA=OC

.∴OE//AB

故①正確；

②∵△DEC是等邊三角形，

∴∠DEC=60°=∠DBC+∠BDE

∵BE=EC=DE

∴∠DBC=∠BDE=30°，

∴∠BDC=30°+60°=90°

∴BD⊥CD

∴S平行四邊形ABCD=2=2×BD·CD= BD·CD；

故②正確；

③設AB=x，則AD=2x，BD=x，

∴OB=x

則由勾股定理可得：

故③不正確；

④∵AD//EC，

∴

∴DF=2EF

∵S△DOF和S△EOF的高相同

∴S△DOF=2S△EOF

故④正確；即共有3個正確．

故選C．