Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點D是AB下方圓上的一點，點C是優弧AD的中點，過點B作⊙O的切線BE交AC的延長線于點E，連接OC，OD，CB，BD．

（1）求證：BD∥OC；

（2）當AB＝6時，完成填空：

①當BE＝ 時，四邊形ODBC是菱形；

②當BE＝ 時，S△BCE＝S△ABC．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①； ②3

【解析】

（1）連接CD，根據圓的基本性質可得AC＝DC，然后證出≌，可得∠A＝∠ODC，然后根據同弧所對的圓周角性質可得∠A＝∠CDB，再推出∠OCD＝∠CDB即可證出結論；

（2）①根據切線的性質可得∠ABE=90°，當AB＝6，BE＝時，利用銳角三角函數即可求出∠A，從而求出∠COB和∠ODB，根據等邊三角形的判定定理可證和都是等邊三角形，從而得出BC=OC=OD=BD，即可證出結論；

②根據切線的性質可得∠ABE=90°，當AB＝6，BE＝3時，利用銳角三角函數即可求出tanA，從而得出，設BC=x，利用勾股定理求出BC和AC，再利用勾股定理即可求出CE，即可求出CE：AC，然后根據兩個三角形等高時，面積比等于底之比即可得出結論．

（1）證明：連接CD，

∵點C為優弧AD的中點，

∴AC＝DC．

又∵OA＝OD，OC＝OC，

∴≌，

∴∠A＝∠ODC．

又∵∠A與∠CDB都為所對的圓周角，

∴∠A＝∠CDB，

∴∠ODC＝∠CDB．

∵OD＝OC，

∴∠ODC＝∠OCD，

∴∠OCD＝∠CDB

∴BD∥OC．

（2）解：①當BE＝時，四邊形ODBC是菱形，理由如下

∵BE為⊙O的切線

∴∠ABE=90°

當AB＝6，BE＝時，

∴tanA=

∴∠A=30°

∴∠COB=2∠A=60°，∠ODB=∠ODC＋∠CDB=2∠A=60°

∵OC =OB=OD

∴和都是等邊三角形

∴BC=OC=OD=BD

∴四邊形ODBC是菱形

故答案為：；

②當BE＝3時，S△BCE＝S△ABC，理由如下

∵BE為⊙O的切線

∴∠ABE=90°

當AB＝6，BE＝3時，

∴tanA=

∵AB為直徑

∴∠ACB=90°

∴tanA=

設BC=x，則AC=2x

∴BC2+AC2=AB2

即x2+（2x）2=62

解得：x=或（不符合實際，舍去）

∴BC=，AC=

在Rt△BCE中，CE=

∴CE：AC=：=1：4

∴S△BCE：S△ABC=1：4

∴S△BCE＝S△ABC．

故答案為：3 ．