Question

【題目】有一個n位自然數能被x0整除，依次輪換個位數字得到的新數能被（x0+1）整除，再依次輪換個位數字得到的新數能被（x0+2）整除，按此規律輪換后，能被（x0+3）整除，…，能被（x0+n﹣1）整除，則稱這個n位數是x0的一個“輪換數”．例如：60能被5整除，06能被6整除，則稱兩位數60是5的一個“輪換數”．再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，則稱三位數324是2的一個“輪換數”．

（1）請判斷：自然數24　 　“輪換數”，245　 　“輪換數”（填“是”或“不是”）；

（2）若一個兩位自然數的個位數字是m（0＜m＜5，且為整數），十位數字是2m，試說明：這個兩位自然數一定是“輪換數”；

（3）若三位自然數是4的一個“輪換數”，其中b=0，請直接寫出這個三位自然數．

Answer 1

【答案】（1）是，不是；（2）詳見解析；（3）504.

【解析】

（1）分別判斷能否被兩個聯系的整數整除即可；

（2）表示出這個兩位自然數，和輪換兩位自然數，得到能整除即可；

（3）先表示出三位自然數和輪換三位自然數，再根據能被5整除，得出b的可能值，進而用4整除，得出c的可能值，最后用能被3整除即可．

（1）∵24是6的倍數，42是7的倍數，

∴自然數24是“輪換數”；

∵245的約數是5、7、7，452的約數有2、2、113；

當245被5整除時，而452不能被6整除；

當245被7整除時，而452不能被8整除；

∴245不是“輪換數”．

（2）此兩位數為20m+m=21m=7m×3，是3的倍數； 輪換后為10m+2m=12m=4m×4，是4的倍數；

∴這個兩位自然數一定是“輪換數”．

（3）此三位數為：100a+10b+c

當b=0時，三位數為：100a+10b+c=100a+c，

∵100a+c是4的倍數，而100a是4的倍數，

∴c是4的倍數，

∴c=4或8；

若c=4，輪換后為40+a是5的倍數，

∴a=5；

驗證：再次輪換后為450是6的倍數，即這個三位數為：504

若c=8，則三位數為：100a+8；

輪換后為80+a是5的倍數，

∴a=5；

驗證：再次輪換后為850不是6的倍數，即c=8舍去

綜上所述，這個三位數為：504．