Question

【題目】如圖，點分別在兩邊上，且，以為直徑作半圓，點是半圓的中點

(1)連接，求證： ；

(2)若， ，求陰影部分面積

(3)若點是的外心，判斷四邊形的形狀，并說明理由

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）四邊形是正方形，理由見解析

【解析】

（1）求出，利用SSS即可證明；

（2）首先證明△APB是等邊三角形，得到AB＝4，然后根據扇形面積公式和等腰直角三角形的面積公式計算即可；

（3）求出，證明P、O、C三點共線，可知AB⊥PC，即可得四邊形是正方形．

解：（1）∵點是半圓的中點，

∴，

∴，

又∵，，

∴；

（2）∵，

∴，

∵，，

∴△APB是等邊三角形，

∴AB＝PA＝4，

∴，

∴陰影部分面積；

（3）四邊形是正方形，

理由：∵點是的外心，

∴，

∵，

∴，

∵PA＝PB，

∴∠AOP＝90°，

又∵，

∴P、O、C三點共線，即AB⊥PC，

∴四邊形是正方形．