Question

【題目】如圖（1），在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，動點P在線段AC上以5cm/s的速度從點A運動到點C，過點P作PD⊥AB于點D，將△APD繞PD的中點旋轉180°得到△A′DP，設點P的運動時間為x（s）．

（1）PD=_________、AD=_________；（用x的代數式表示）

（2）當點A′落在邊BC上時，求x的值．

（3）如圖（2），另有一動點Q與點P同時出發，在線段BC上以5cm/s的速度從點B運動到點C，過點Q作QE⊥AB于點E，將△BQE繞QE的中點旋轉180°得到△B′EQ，

①連結A′B′，當直線A′B′與△ABC的一邊垂直時，求線段A′B′的長．

②當A′關于QE的對稱點落在四邊形BE B′Q的內部（包括邊上）時，直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】 3x 4x

【解析】試題分析：（1）由勾股定理和相似三角形的判定與性質即可表示出PD、AD的值；

（2）當A’在BC邊上時，根據線段之間的數量關系，求出x的值；

（3）分A′B′⊥AB時，A′B′⊥BC時，A′B′⊥AC時，結合銳角三角函數的概念，即可求得A'B'的長度．

試題解析： (1)PD=3x,AD=4x；

(2)如圖（1）當點A′落在邊BC上時，由題意得

四邊形AP A′D為平行四邊形

∵△APD∽△ABC，AP=5x，

∴ A′P=AD=4x，PC=4－5x．∵A′P//AB ∴△A′PC∽△ABC．

x＝．當點A′落在邊BC上時， x＝．

(3) Ⅰ、當A′B′⊥AB時，如圖6，

∴DH=PA′=AD,HE=B′Q=EB，

∵AB=2AD+2EB=2×4x+2×3x=5，

∴x=，

∴A′B′=QEPD=x=；

Ⅱ、當A′B′⊥BC時，如圖7，

∴B′E=5x，DE=57x，

∴cosB==35，

∴x=，

∴A′B′=B′DA′D=；

Ⅲ、當A′B′⊥AC時，如圖8，

由(1)有,x=，

∴A′B′=PA′sinA=；

當A′B′⊥AB時,x=,A1B1=．

當A′B′⊥BC時x=, A1B1=．

當A′B′⊥AC時x=, A1B1=．

②.

點睛（1）根據勾股定理求出AC，證明△APD∽△ABC，根據相似三角形的性質計算；

（2）根據四邊形AP A′D為平行四邊形，△APD∽△ABC， A′PC∽△ABC進行解答；

（3）根據題意畫出圖形，分三種情況，結合銳角三角函數的概念計算．