Question

【題目】已知點P是線段AB上與點A不重合的一點，且AP＜PB．AP繞點A逆時針旋轉角α（0°＜α≤90°）得到AP1 ， BP繞點B順時針也旋轉角α得到BP2 ， 連接PP1、PP2 ．

（1）如圖1，當α=90°時，求∠P1PP2的度數;
（2）如圖2，當點P2在AP1的延長線上時，求證：△P2P1P∽△P2PA;
（3）如圖3，過BP的中點E作l1⊥BP，過BP2的中點F作l2⊥BP2 ， l1與l2交于點Q，連接PQ，求證：P1P⊥PQ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由旋轉的性質得：AP=AP1，BP=BP2．

∵α=90°，

∴△PAP1和△PBP2均為等腰直角三角形，

∴∠APP1=∠BPP2=45°，

∴∠P1PP2=180°﹣∠APP1﹣∠BPP2=90°.

（2）

解：

證明：由旋轉的性質可知△PAP1和△PBP2均為頂角為α的等腰三角形，

∴∠APP1=∠BPP2=90°﹣，

∴∠P1PP2=180°﹣（∠APP1+∠BPP2）=180°﹣2（90°﹣）=α，

在△PP2P1和△P2PA中，∠P1PP2=∠PAP2=α，

又∵∠PP2P1=∠AP2P，

∴△P2P1P∽△P2PA．

（3）

解：證明：如圖，連接QB．

∵l1，l2分別為PB，P2B的中垂線，

∴EB=BP，FB=BP2．

又BP=BP2，

∴EB=FB．

在Rt△QBE和Rt△QBF中，

，

∴Rt△QBE≌Rt△QBF，

∴∠QBE=∠QBF=∠PBP2=，

由中垂線性質得：QP=QB，

∴∠QPB=∠QBE=，

由（2）知∠APP1=90°﹣，

∴∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB=180°﹣（90°﹣）﹣=90°，

即 P1P⊥PQ．

【解析】（1）利用旋轉的性質以及等腰直角三角形得出∠APP1=∠BPP2=45°，進而得出答案；
（2）根據題意得出△PAP1和△PBP2均為頂角為α的等腰三角形，進而得出∠P1PP2=∠PAP2=α，求出△P2P1P∽△P2PA；
（3）首先連結QB，得出Rt△QBE≌Rt△QBF，利用∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB求出即可．
【考點精析】利用相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．