Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+2x+c的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，3）．

（1）求該二次函數的表達式;
（2）過點A的直線AD∥BC且交拋物線于另一點D，求直線AD的函數表達式;
（3）在（2）的條件下，請解答下列問題：
①在x軸上是否存在一點P，使得以B、C、P為頂點的三角形與△ABD相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
②動點M以每秒1個單位的速度沿線段AD從點A向點D運動，同時，動點N以每秒個單位的速度沿線段DB從點D向點B運動，問：在運動過程中，當運動時間t為何值時，△DMN的面積最大，并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

由題意知：，

解得，

∴二次函數的表達式為y=﹣x2+2x+3

（2）

解：

在y=﹣x2+2x+3中，令y=0，則﹣x2+2x+3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∴B（3，0），

由已知條件得直線BC的解析式為y=﹣x+3，

∵AD∥BC，

∴設直線AD的解析式為y=﹣x+b，

∴0=1+b，

∴b=﹣1，

∴直線AD的解析式為y=﹣x﹣1.

（3）

解：

①∵BC∥AD，

∴∠DAB=∠CBA，

∴只要當：或時，△PBC∽△ABD，

解得D（4，﹣5），

∴AD=，AB=4，BC=，

設P的坐標為（x，0），

即或，

解得x=或x=﹣4.5，

∴P（，0）或P（﹣4.5，0），

②過點B作BF⊥AD于F，過點N作NE⊥AD于E，

在Rt△AFB中，∠BAF=45°，

∴sin∠BAF=，

∴BF=，BD=，

∴sin∠ADB=，

∵DM=5-t，DN=t，

又∵sin∠ADB=，NE=，

∴

∴當t=時，S△MDN的最大值為

【解析】（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c即可得到結果；
（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0，則﹣x2+2x+3=0，得到B（3，0），由已知條件得直線BC的解析式為y=﹣x+3，由于AD∥BC，設直線AD的解析式為y=﹣x+b，即可得到結論；
（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，全等只要當或時，△PBC∽△ABD，解方程組得D（4，﹣5），求出AD=5，AB=4，BC=3，設P的坐標為（x，0），代入比例式解得x=或x=﹣4.5即可得到P（ ， 0）或P（﹣4.5，0）；
②過點B作BF⊥AD于F，過點N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中，∠BAF=45°，于是得到sin∠BAF= ， 求得BF=，BD=，求得sin∠ADB= ， 由于DM=5-t ， DN=t ， 于是得到 ， 即可得到結果．
【考點精析】本題主要考查了二次函數圖象以及系數a、b、c的關系和二次函數圖象的平移的相關知識點，需要掌握二次函數y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時，拋物線開口向上; a<0時，拋物線開口向下b與對稱軸有關：對稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點坐標：（0，c）；平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減才能正確解答此題．