Question

【題目】如圖，在中，，.點是線段上的一點，連結，過點作，分別交、于點、，與過點且垂直于的直線相交于點，連結.給出以下四個結論：①；②若點是的中點，則；③當、、、四點在同一個圓上時，；④若，則.其中正確的結論序號是（ ）

A. ①②B. ①②③C. ③④D. ①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

(1)由△AFG∽△BFC，可確定結論①正確；

(2)先證明△ABG≌△BCD（ASA），得到AG＝BD，再通過點是的中點，利用（1）中得到的，得到，在Rt△ABC中，可得AC=AB，即可得到AF＝AB，故結論②正確；

（3）當B、C、F、D四點在同一個圓上時，由圓內接四邊形的性質得到∠2＝∠ACB由于∠ABC＝90°，AB＝BC，得到∠ACB＝∠CAB＝45°，于是得到∠CFD＝∠AFD＝90°，根據垂徑定理得到DF＝DB，故③正確；

（4）因為＝，所以AF＝AC ，，所以S△ABF＝S△ABC，又S△BDF＝S△ABF，所以S△ABC＝12S△BDF，由此確定結論④錯誤．

解：

(1)∵，

∴BC∥AG，

∴∠G=∠FBC

∠GAF=∠FCB

∴△AFG∽△BFC，

∴，

又AB＝BC，

∴．

故結論①正確；

(2)如圖，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，

∴∠3＝∠4．

在△ABG與△BCD中，

∴△ABG≌△BCD（ASA），

∴AG＝BD，

∵點是的中點，

∴AG＝BD=AB=BC

∴

∴

∵在Rt△ABC中，AB=BC

∴AC=AB

∴AF＝AB

故結論②正確；

（3）當B、C、F、D四點在同一個圓上時，

∴∠2＝∠ACB，

∵∠ABC＝90°，AB＝BC，

∴∠ACB＝∠CAB＝45°，

∴∠2＝45°，

∴∠CFD＝∠AFD＝90°，

∴CD是B、C、F、D四點所在圓的直徑，

∵BG⊥CD，

∴DF與BD對應的弧相等，

∴DF＝DB，故③正確；

(4)∵，AG＝BD，，

∴，

∴

∴AF＝AC，

∴S△ABF＝S△ABC，

∴S△BDF＝S△ABF，

∴S△BDF＝S△ABC，即S△ABC＝12S△BDF．

故結論④錯誤；

正確的是①②③，故選：B．