Question

【題目】如圖1，AB是O的直徑，點C在O上，且點C為弧BE的中點，連接AE并延長交BC延長線于點D.

(1)判斷△ABD的形狀，并說明理由；

(2)過點C作CM⊥AD，垂足為點F，如圖2.求證：CF是O的切線；

(3)若O的半徑為3，DF=1，求sinB的值。

Answer 1

【答案】（1）見解析

（2）見解析

(3)

【解析】

（1）如圖1，連接AC，由AB是 O的直徑，得到AC⊥BD，根據BC的弧=CE的弧，得到∠BAC=∠DAC，求得AB=AD；

（2）如圖2，連接AC，OC，證明過半徑的外端點垂直于這條半徑的直線是圓的切線；

（3）由相似三角形求得BC，根據勾股定理得到AC，求得∠B的正弦．

(1)如圖1，連接AC，

∵AB是O的直徑，

∴∠ACB=90

∴AC⊥BD，

∵BC的弧=CE的弧

∴∠BAC=∠DAC，

∴AB=AD，

∴△ABD是等腰三角形；

(2)如圖2連接AC，OC，

∵OA=OC，

∴∠1=∠3，

∵∠2=∠1，

∴∠2=∠3，

∵CF⊥AD，

∴∠AFC=90，

∴∠2+∠ACF=90

∴∠3+∠ACF=90

∴AC⊥CF，

∴CF是O的切線；

(3)∵∠ACB=∠CFD=90，

∠B=∠D，

∴△ABC∽△CDF，

∴ ，

∴

∴BC=CD= ，

∴AC= ，

∴sinB=