Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A、B的坐標分別為（8，0）、（0，6）．動點Q從點O、動點P從點A同時出發，分別沿著OA方向、AB方向均以1個單位長度/秒的速度勻速運動，運動時間為t（秒）（0＜t≤5）．以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個交點分別為點C、D，連結CD、QC．

（1）求當t為何值時，點Q與點D重合？
（2）設△QCD的面積為S，試求S與t之間的函數關系，并求S的最大值？
（3）若⊙P與線段QC只有一個交點，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

（1） 
（2）。
S的最大值為15。
（3）或

解析分析：（1）根據點A、B的坐標求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根據點Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根據直徑所對的圓周角是直角可得∠ADC=90°，再利用∠BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可。
解：∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6。
∴。
∵點Q的速度是1個單位長度/秒，∴OQ=t。∴AQ=OA－OQ=8－t。
∵⊙P的直徑為AC，∴∠ADC=90°。
∴，即，解得。
當點Q與點D重合時，AD=AQ，
∴，解得。
∴當時，點Q與點D重合。
（2）利用∠BAO的正弦表示出CD的長，然后分點Q、D重合前與重合后兩種情況表示出QD，再利用三角形的面積公式列式整理，然后根據二次函數的最值問題解答。
解：，即，解得。
①點Q、D重合前，即時，，
∴△QCD的面積為。
∵，
∴當t=時，S有最大值為。
②點Q、D重合后，即時，，
∴△QCD的面積為。
∵，∴當時，S隨t的增大而增大。
∴當t=5時，S有最大值為：。
綜上所述，S與t的函數關系式為。
∵15＞，∴S的最大值為15。
（3）①點Q、D重合前，即時，CQ與⊙P相切時t的值最大，此時，CQ⊥AB，AQ=8－t，
∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，∴△ACQ∽△AOB。
∴，即，解得t=。
∴⊙P與線段QC只有一個交點，t的取值范圍為。
②點Q、D重合后，即時，⊙P與線段QC只有一個交點。