Question

如圖，在平面直角坐標中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，點P為x軸上的一個動點，但是點P不與點0、點A重合．連接CP，D點是線段AB上一點，連接PD．
（1）求點B的坐標；
（2）當∠CPD=∠OAB，且

BD

AB

=

5

8

，求這時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）依題意可得∠BAQ=∠COA，已知AB=4，∠COA度數利用三角函數可求出BQ，AQ，OQ的值．
（2）利用相似三角形的判定證明△OCP∽△APD，根據等比性質可求出AP，OP的值．

解答：解：（1）作BQ⊥x軸于Q．
∵四邊形OABC是等腰梯形，
∴∠BAQ=∠COA=60°
在Rt△BQA中，BA=4，
BQ=AB•sin∠BAO=4×sin60°=2

3

（1分）
AQ=AB•cos∠BAO=4×cos60°=2，（1分）
∴OQ=OA-AQ=7-2=5
點B在第一象限內，∴點B的坐標為（5，2

3

）（1分）

（2）∵∠CPA=∠OCP+∠COP，
即∠CPD+∠DPA=∠COP+∠OCP，
而∠CPD=∠OAB=∠COP=60°，
∴∠OCP=∠APD．（1分）
∵∠COP=∠PAD，（1分）
∴△OCP∽△APD．（1分）
∴

OP

AD

=

OC

AP

．
∴OP•AP=OC•AD．（1分）
∵

BD

AB

=

5

8

，且AB=4，
∴BD=

5

8

AB=

5

2

，
AD=AB-BD=4-

5

2

=

3

2

．
∵AP=OA-OP=7-OP，
∴OP（7-OP）=4×

3

2

，（1分）
解得：OP=1或6．
∴點P坐標為（1，0）或（6，0）．（2分）

點評：本題綜合考查了三角函數，相似三角形的判定和性質，等腰梯形性質的運用，難度中上．