Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A（0，3），C（-1，0），將矩形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度，得矩形OA′B′C′矩形設(shè)直線BB’與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，拋物線經(jīng)過點(diǎn)C，M，N點(diǎn)．
解答下列問題：
（1）設(shè)直線BB′表示的函數(shù)解析式為y=mx+n，求m，n；
（2）求拋物線表示的二次函數(shù)的解析式；
（3）在拋物線上求出使S_△PB′C′=S_矩形OABC的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）已知A（0，3），C（-1，0），就可以得到OA=3，OC=1，就可以得到B、B′的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線BB′，的解析式；得到m、n的值．
（2）已知直線BB′的解析式，可以求得與x軸，y軸的交點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出二次函數(shù)的解析式．
（3）矩形OABC的面積容易求得，△PB'C'的底邊B'C'的邊長(zhǎng)可以得到，B'C'邊上的高線長(zhǎng)就是P點(diǎn)的縱坐標(biāo)-1的絕對(duì)值．設(shè)P的縱坐標(biāo)是y，根據(jù)三角形的面積就可以得到一個(gè)關(guān)于y的方程，就可以解得y的值．進(jìn)而就可以求出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴B（-1，3）（1分）
根據(jù)題意，得B′（3，1）
把B（-1，3），B′（3，1）代入y=mx+n中，

-m+n=3 3m+n=1

（1分）
解得

m=- 1 2 n= 5 2

∴m=-

1

2

，n=

5

2

（2）由（1）得y=-

1

2

x+

5

2

，
∴N（0，

5

2

），M（5，0）（2分）
設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，
把C（-1，0），N（0，

5

2

），M（5，0）代入得：

a-b+c=0 c= 5 2 25a+5b+c=0

，
解得

a=- 1 2 b=2 c= 5 2

（1分）
∴二次函數(shù)的解析式為y=-

1

2

x²+2x+

5

2

（1分）

（3）∵S_矩形OABC=3×1=3
∴S_△PB‘C′=3
又∵由（1）（2）知B'C'=BC=3，
∴點(diǎn)P到B'C'的距離為2，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3或-1
當(dāng)y=3時(shí)，3=-

1

2

x²+2x+

5

2

，即x²-4x+1=0
解得x=2±

3

∴P₁（2+

3

，3），P₂（2-

3

，3），（2分）
當(dāng)y=-1時(shí)，-1=-

1

2

x²+2x+

5

2

，即x²-4x-7=0
解得x=2±

11

∴P₃（2+

11

，-1），P₄（2-

11

，-1）（2分）
∴P點(diǎn)坐標(biāo)（2+

3

，3），（2-

3

，3），（2+

11

，-1），（2-

11

，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，注意數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．