Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝30°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A1BC1．

（1）如圖1，當點C1在線段CA的延長線時，求∠CC1A1的度數；

（2）已知AB＝6，BC＝8，

①如圖2，連接AA1，CC1，若△CBC1的面積為16，求△ABA1的面積；

②如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉的過程中，點P的對應是點P1，直接寫出線段EP1長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）∠CC1A1＝60°；（2）△ABA1的面積＝9；（3）線段EP1長度的最大值為11.

【解析】

（1）由旋轉的性質可得：∠A1C1B=∠ACB=30°，BC=BC1，又由等腰三角形的性質，即可求得∠CC1A1的度數；
（2）①由△ABC≌△A1BC1，易證得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△ABA1的面積；
②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值

（1）依題意得：△A1C1B≌△ACB，

∴BC1＝BC，∠A1C1B＝∠C＝30°，

∴∠BC1C＝∠C＝30°，

∴∠CC1A1＝60°；

（2）如圖2所示：

由（1）知：△A1C1B≌△ACB，

∴A1B＝AB，BC1＝BC，∠A1BC1＝∠ABC，

∴∠1＝∠2，＝＝，

∴△A1BA∽△C1BC，

∴＝（）2，

∵△CBC1的面積為16，

∴△ABA1的面積＝9.

（3）線段EP1長度的最大值為11，理由如下：

如圖3所示：當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，

最大值為：EP1＝BC+BE＝8+3＝11．

即線段EP1長度的最大值為11．