Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點H．

（1）求證：；

（2）設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；

（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線DA勻速向上運動（當矩形的邊PQ到達A點時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

（1）由相似三角形，列出比例關系式，即可證明．

（2）首先求出矩形EFPQ面積的表達式，然后利用二次函數求其最大面積．

（3）本問是運動型問題，弄清矩形EFPQ的運動過程：

當0≤t≤2時，如答圖①所示，此時重疊部分是一個矩形和一個梯形；

當2＜t≤4時，如答圖②所示，此時重疊部分是一個三角形．

解：（1）證明：∵矩形EFPQ，∴EF∥BC．

∴△AHF∽△ADC，∴．

∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴.

∴．

（2）∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1．

∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴．

∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴．

∴，即，∴EH=4HF．

已知EF=x，則EH=．

∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣．

，

∴當x=時，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為5．

（3）由（2）可知，當矩形EFPQ的面積最大時，矩形的長為，寬為．

在矩形EFPQ沿射線AD的運動過程中：

（I）當0≤t≤2時，如答圖①所示，

設矩形與AB、AC分別交于點K、N，與AD分別交于點H1，D1，此時DD1=t，H1D1=2，

∴HD1=HD﹣DD1=2﹣t，HH1=H1D1﹣HD1=t，AH1=AH﹣HH1=2﹣t．

∵KN∥EF，∴，即．

解得．

．

（II）當2＜t≤4時，如答圖②所示，

設矩形與AB、AC分別交于點K、N，與AD交于點D2．此時DD2=t，AD2=AD﹣DD2=4﹣t．

∵KN∥EF，∴，即．

解得．

．

綜上所述，S與t的函數關系式為：．