Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點、兩點（點在點的左側），與軸交于點．

（1）如圖1，若點是直線上方拋物線上的一個動點，過點作軸交直線于點，作于點，點為直線上一動點，點為軸上一動點，連接，．當最長時，求的最小值；

（2）如圖2，將繞點逆時針旋轉得，將沿直線平移得到，直線與軸交于點，連接，將 沿邊翻折得 ，連接， ，當是等腰三角形時，求此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） 或 或 ．

【解析】

（1）先求出A、B、C的坐標，直線BC解析式，可推出，設，則，推出時取得最大值，此時最長，作直線，過點作于，交于，交軸于，將轉化為PK即可求值；

（2）設，則，，分別表示出，，，再分別討論兩邊相等，建立方程求解．

（1）令，得或4，

令得

∴，，

BC=

設直線BC解析式為：，代入，得：

，解得

∴直線BC解析式為

∵，軸，

∴∠PDE=∠CBO

∵∠PED=∠COB=90°

∴△PDE∽△CBO

∴

∴，當取得最大值時，線段最長．

設，則

∴

∵

∴當，即時取得最大值，此時最長

作直線，過點作于，交于，交軸于，與y軸交于F，

易得F點坐標為，

∴

∵∠OAF=∠KAN，∠AOF=∠AKN=90°

∴△AOF∽△AKN

∴，則

此時，

PK的長即為的最小值，

∵

∴設直線PK的解析式為，將代入得：

，解得，即直線PK解析式為

聯立與得：

解得，則M坐標為

∴

即的最小值為．

（2）設，則，

∵

∴

當時，，或

當時，，

當時，，

∴或或

∴或或