Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD，對角線AC、BD相交于點O，AC＝6，BD＝8．點E是AB邊上一點，求作矩形EFGH，使得點F、G、H分別落在邊BC、CD、AD上．設 AE＝m．

（1）如圖①，當m＝1時，利用直尺和圓規，作出所有滿足條件的矩形EFGH；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）寫出矩形EFGH的個數及對應的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①當m＝0時，存在1個矩形EFGH；②當0＜m＜時，存在2個矩形EFGH；③當m＝時，存在1個矩形EFGH；④當＜m≤時，存在2個矩形EFGH；⑤當＜m＜5時，存在1個矩形EFGH；⑥當m＝5時，不存在矩形EFGH.

【解析】

（1）以O點為圓心，OE長為半徑畫圓，與菱形產生交點，順次連接圓O與菱形每條邊的同側交點即可；

（2）分別考慮以O為圓心，OE為半徑的圓與每條邊的線段有幾個交點時的情形，共分五種情況.

（1）如圖①，如圖②（也可以用圖①的方法，取⊙O與邊BC、CD、AD的另一個交點即可）

（2）∵O到菱形邊的距離為,當⊙O與AB相切時AE=，當過點A,C時，⊙O與AB交于A,E兩點，此時AE=×2=，根據圖像可得如下六種情形：

①當m＝0時，如圖，存在1個矩形EFGH；

②當0＜m＜時，如圖，存在2個矩形EFGH；

③當m＝時，如圖，存在1個矩形EFGH；

④當＜m≤時，如圖，存在2個矩形EFGH；

⑤當＜m＜5時，如圖，存在1個矩形EFGH；

⑥當m＝5時，不存在矩形EFGH.